A zenével már gyerekként szoros kapcsolatba került, hiszen apja, Szikora Jenő táncdalénekes, keresztapja pedig dzsesszgitáros volt. Az ő hangszerét örökölte meg, amikor keresztapja disszidált, tanult gitározni, zongorázni, de végül a dob mellett kötött ki. Hétéves volt, amikor szülei elváltak, őt a vasútnál dolgozó édesanyja nevelte fel Rákospalotán.

Tizenöt évesen lett a One World együttes tagja, miután megkapta első dobfelszerelését, a zenekarral amatőr tehetségkutató versenyt nyertek. Szikora 1969-ben a Ferm együtteshez igazolt át, amelyet akkor a legprofibb amatőr zenekarnak tituláltak, velük szinte minden nap fellépett. Itt lett zenésztársa Környei Attila basszusgitáros, akivel több évtizedes alkotó együttműködést alakítottak ki, főként később az R-GO-ban.

Szikora Róbert 1974 elejétől majd egy évtizeden át a Hungária együttes dobosa volt, ahová Fenyő Miklós hívta. A Hungária éppen akkor vette fel a Beatles-fazont, nem csak külsőségekben, de stílusban is, könnyen megjegyezhető, dallamos számokat játszottak és persze Beatlest. Ezzel külföldön - elsősorban az NDK-ban, Lengyelországban és a Szovjetunióban koncerteztek - lettek népszerűbbek, idehaza előfordult, hogy csak húszfős közönség előtt zenéltek, és lemezük sem jelenhetett meg.

A Hungáriában 1980-ban részben kicserélődtek a tagok, csatlakozott hozzájuk Dolly, elkezdtek rock and rollt játszani jampi külsőségekkel, napszemüveggel, színes, vagány ruhákban. A műsort külföldi "vendéglátózásra" szánták, de előtte még felléptek a fővárosi E-klubban. Attól féltek, hogy kifütyülik őket, ehelyett tomboló sikerük volt, és a lemezgyár azonnal anyagot kért tőlük. Rock and Roll Party című albumuk a megjelenést követő első hónapban már 40 ezer példányban kelt el, aztán még félmillió fogyott belőle. 1981-ben a Limbó hintóval megnyerték a Tánc- és popdal fesztivál nagydíját, következő nagylemezük, a Hotel Menthol is átütő sikert hozott, 1982 márciusában a Népstadionban adott koncertjüket több tízezren nézték és hallgatták.

1982 végén Szikora Róbert kivált a Hungáriából, mert álnéven írt egy albumot Szűcs Judithnak, ami kitudódott és vitát okozott az együttesben. Új zenekart alapított R-GO néven, amelynek frontembere, énekese lett és sajátosan újszerű stílust hozott létre. Csikidamnak nevezték el a szokatlan ritmusképletre épülő latinos stílust és annak Rejtő Jenő-i külsőségeit: sivatagi környezet, katonai ruhák, jelvényviselet. Elsőként az Ergo: létezem és a Megy a lány az utcán című dalokat vették fel, később, a Bombázó című szám felvételekor csatlakozott az együtteshez "gidaként" két háttérénekes-táncoslány.

Az R-GO-nak 1987-ig négy toplistavezető albuma jelent meg, akkor Szikora körül kicserélődtek a tagok és viszonylag sikertelen korszak következett. Az együttes 1994-ben feloszlott, de 2000-től fiatal muzsikusokkal újra működik, koncertezik és lemezfelvételeket is készít.

Szikora írt tévéfilmekhez zenét, szerzett két musicalt (Katonadolog, Macskafogó) és mostanában is egy új darabon dolgozik. Ismertségét növeli, hogy 2013-ban az egyik kereskedelmi televízió tehetségkutató vetélkedőjének mentora lett. A nyolcvanas években volt az év énekese és többször az év zeneszerzője is, 2013-ban megkapta a Magyar Érdemrend Lovagkereszt polgári tagozata kitüntetést.

Diákkori szerelmét 1975-ben vezette oltár elé, azóta vele él. Keresztény hitét nem titkoltan, aktívan éli meg, lehetőleg minden nap jár szentmisére. Nemrég azt nyilatkozta, hogy egyáltalán nem zavarja a kora: "ha belenézek a tükörbe, akkor ugyanazt az arcot látom, amit 18 évesen. Azt a pozitív, életigenlő fickót, aki rá tud csodálkozni a világra - csak egy kicsit több ránccal. De attól még ugyanúgy közvetíti az érzést, hogy hú, de jó élni".